Автор неизвестен - Квадратурные формулы интерполяционного типа для гиперсингулярных интегралов - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

7. Квадратурные формулы интерполяционного типа для гиперсингулярных интегралов.

В этом разделе речь пойдет о квадратурных формулах для ин­тегралов (см. [3])

(Afnо) - т-     І} ф d<P, (7.1)

2ж) 2sin2 ф^фо-о 2

где fn(ф) - тригонометрический полином порядка n, и (см. [3])

1

(4р„-2*о) -1 f ^^VT-^dt, (7.2)

nJ (t - to)

-1

где pn-2(t) - алгебраический полином степени n - 2.

Также получены квадратурные формулы интерполяционного типа для интегралов от многочленов по интервалу (-1,1) с весом

Vi -12 и интегралов с логарифмическим ядром и тем же весом.

Рассмотренные в этом разделе квадратурные формулы ис­пользуются при вычислении потенциалов двойного слоя.

7.1. Для вычисления интеграла (1) подставим в формулу (1) вы­ражение для fn (ф) - (Pn(1) fn )ф) в виде интерполяционного тригоно­метрического полинома. Имеем  (Af о) = Z fn )(A$„ о). И

k

найдем выражения интегралов (1) для фундаментальных интер­поляционных тригонометрических полиномов порядка точно n . В силу (1) и (6.7) получаем

2    n         (          \        2     d   n       ( \ (ASn,k)(фо) = -~-rZqcosqlфо -(P„) = -~-7—Zsinqlфо -(P„)

и, используя тождество

n cos--cosl n + —\0

Zsin q* =-*— >

q=1 2sin —

2

(в самом деле,

n n i(n+1)0 - Лв

Z sin q* = Im Z eiq* = Im ----—

q=1 q=1 e     -1

sin sinl-   cos--cosl n + —\в

2     V 2

. в

sin

2

2sin

),

после несложных преобразований находим

[1]"U-ф) '

(A Sn,k )(ф0)

1

sin

1 ](фо )

-I

2n +1

2

sin~2)

n sm^n + 2к

sin2о )

(7.3)

Окончательно имеем интерполяционную квадратурную фор­мулу для гиперсингулярного интеграла (1):

2п

J_ f       fn Ф)

2nJ 2sin[2] ^

о2

1

2n

2n

2n +1

Z fn  )

sin~2 -(pI )

nsinl n + -|(ф -ф„)

k=0

sin22)      sin^2о -(рІ)

(7.4)

Эта формула значительно упрощается при ф0 є { ф }

ф

2n

2п

Г

| fn Ф)

2

1

2sin

2n+1

Z fn (ФпП )

1 - (-1)j-k cos

2

k=0 k *j

2sin

ф

2

3=0 n(n +1)

2n+1

fn )

(7.5)

7.2. Прежде чем переходить к выводу интерполяционной квадра­турной формулы для интеграла (2), займемся интерполяционны­ми полиномами Лагранжа с (n -1) чебышевскими узлами 2-го ти-

па:

4з = cos3п, j = 1,2,...,n -1 n

Пусть f (t), t є[-1,1] -заданная функция, обозначим

(P1-2f )(t) - Z-f (t0nj УП-2,j (t): j=1

(7.6)

где іПІ-2, j (t) - фундаментальные интерполяционные полиномы 2-го типа, определенные следующим образом :

ln-2, j (t)

Un-1(t)

un-1(<0j )(t -10j) Непосредственно проверяется, что

j = 1,2,...,n -1

(7.7)і„-2,j(4) =    ; j,k = 1,2,...,n-1 (7.8)

откуда следует, что

(PnVx^k) = f(4) , k = 1,2,...,n-1 (7.9) И если f = pn-2(t) - полином степени (n - 2), то в силу (9) два по­линома степени (n - 2): pn-2(t) и (p„- 2 pn-2)(t) совпадают в (n -1) раз­личных точках, так что

(Pn-2p„-2)(t) - pn-2(t),t Є R\ (7.10)

В общем случае гладких функций f (t) є Cf-^] оценка скорости

сходимости (Pn[3]-2f)(t) к f (t) приведена в заключительном пункте настоящего раздела.

7.3. Теперь можно получить квадратурную формулу интерполя­ционного типа для интеграла с чебышевским весом

1

тЛ

f

-1

Jf - j f (t)уі1 -12 dt

Имеем j(pV)(t)л-Ла + г„ , где г„ = jf (t)-(p„[4]-2f )(t)]^\-t2dt, то-

-1 -1

гда, в силу (6)-(7),

1 /- 1 I-

j (P„[5]-2 f )(tn1 -12 dt = Z f (tо„з ) j і[6]-2 j (t)v1 -12 dt =

-1 j=1 -1

= Z f (t „з ) ^ j .

j=1 Un-1(t0 j ) -1 t -10 j

Используя формулу (4.27), имеем

1

^^VT-t^dt = -пГ„ (t0nj) , t -10 j

-1

и, вычисляя производную un-1(t), находим un-1(t0n/) = (-1)3+1n- *)

1 - (4 )2

Теперь Имеем, С учеТОМ ЗНачеНИЯ Тп (tQj) = (-1) J

] (рП-2 f )(t)Vb-7dt = -"^f (%j )(i - (t^ )2)

-i п j=1

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа