Н Я Тихонечко - К приближенному решению исключительного случая задачи римана теории аналитических функций - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ,  ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ  АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Выпуск 10 1970

К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОГО СЛУЧАЯ ЗАДАЧИ РИМАНА ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Н. Я. Тихонечко

В данной работе исследуется один способ приближенного решения задачи Римана

±K(x)F+(x)=F-(x) + G+(x),   оо<х<+оо, (1)

где тцелое неотрицательное число, а заданная функция К (х) такова, что произведение Ух2 + q'1 К (х) на сомкнутой оси х отлично от нуля и удовлетворяет условию Гельдера; q const > 0. Для описания свойств заданной функции G+ (х) и искомых функций F+ (х) и F~ (х) введем сле­дующие обозначения.

Символом Lf[0, п], где пцелое число, будем обозначать класс функций А+ (х), определенных на оси х, аналитически продолжимых на верхнюю полуплоскость, причем равномерно относительно у > 0

I \ А+ 4- і у) (х -\- iy i)-n I2 dx < const.

Символ L.2~[0, n\ вводится так же, как и bf[0, п], но с заменой верхней полуплоскости на нижнюю у < 0. Известная функция G+ (х) принадле­жит классу Lt[0,1 J, а неизвестные функции F+ (х) и F(х) принадлежат классам

F+ (х) 6 Lt [0, 2],   F~ (х) е L4 [0, -1]. (2)

В § 1 укажем типичные задачи теории упругости, приводящиеся к краевой задаче (1).

§ 1. Пример 1. Найти решение и (х, у) уравнения

U-XXXX 2UXXyy У-уууу = 0 (3)

в полосе 0 <г/< 1, удовлетворяющее граничным условиям:

и (х, 1) = 0,   —оэ<х<оо;   иуу(х, 1) = 0,   —оэ<х<оэ;

и (х, 0) = g (х),   х > 0; иуу (х, 0) + шхх (х, 0) =« 0, — со < х < со;

иууу (х, 0) + (2 — v) ихху (х, 0) = 0,   х < 0.

Здесь v коэффициент Пуассона, v = const > 0, 0 < v < 0,5. Поставлена задача об изгибе пластины в форме полосы 0<г/< 1. Край у = I опер­тый; часть х > 0 края у0 оперта, а остальная часть края у = 0 свободна.

Используя методику статьи [1], получим задачу Римана (1), (2), где г = 2, а функция К (х) имеет вид

^ W = х [(3 2v V2) sh х ch х + (1 - v)2 x\ (4)

Пример 2. Дано уравнение (3) в полосе1<У<1. Граничные условия:

и(х, 1) =£х (х),   х>0;   и(х, 1) = g2(x), х>0;

Uyy(x, ±1) + тхх{х, ±1) = 0, оо<х<со;

иууу{х, ±1) + (2—ч)ихху(х, + 1) = 0, х<0;

Значение v то же, что и в примере 1. Поставлена задача об изгибе пластины в форме полосы —1 < у < 1. Части х > 0 краев у = —1, у = 1 оперты, а части х < 0 краев у =—1, у = 1 свободны. Эта граничная задача приводится к задаче Римана для двух пар функций. Однако мы будем разыскивать решение и (х, у) в виде суммы четной и нечетной функ­ций относительно переменной у. Тогда граничная задача примера 2 све­дется к задаче примера 1 и следующей задаче:

Uy(x, 1) = 0, —-оо<со;    иууу(х, 1) = 0,    — со<х<со;

u(x,0)=g(x),   х>0;   иуу (х, 0) -f шхх (х, 0) = 0,   —со<лг<со; иууу (х, 0) + (2 — v) ихху (х, 0) = 0,   х < 0. Последняя приводится к задаче Римана (1), (2), где г = 4, а

К М ^ (3 2v vа) sh* chx — (1— v)2* ' (5)

В этом примере функция К (х) не удовлетворяет условиям, наложенным на нее выше, однако ее легко подчинить требуемым условиям, разделив задачу (1) на х2 + q2.

Строгая постановка граничных задач и обоснование приведения их к задаче Римана производится так же, как и в [2].

§ 2. Запишем задачу Римана, соответствующую примеру 1,

~K(x)F+(x) = F-(x) + G+(x),  -со<*<со, (6)

здесь

F+ (х) Lf [0, 2],   F~ (х) є LT [0, -1], (7)

a G+ (х) принадлежит Lf[0, 1] и функция К (х) имеет вид (4). Индекс функции У х2 + q2 К (х) равен нулю, т. е.

х = gL [Arg* (*) i/FT7]±: - о.

Используя известные методы решения задачи Римана (см., например, [3, главы 2 и 4]), приходим к следующим результатам:

а) для разрешимости задачи (6), (7) необходимо и достаточно суще­ствование постоянной С такой, что

[Vx+iq}+

хЮ+ (х)

+

__ -f L2(—«з, со). (8)

.(* iq)[Y х iq]-X-(x)j      x tqj

Здесь квадратные корни [l/z]+ и [Vz]~~ определены и аналитичны соот­ветственно в верхней и нижней полуплоскостях, их значения имеют поло­жительную мнимую часть;

X* (х) = ехр (+    [V^YK{X)]-^ [У7ЇІЇ2 K(t)] dt\ (9>

К приближенному решению исключительного случая..

В формуле (9) 1п [Ух2 + q2K{x)\непрерывная функция, исчезающая на бесконечности*, а интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Символ [...]+ означает оператор, ставящий в соответствие функции 2 (х) 6 L2 (— со, оо) функцию

+°°

[Q(x)lb = -U + — 7U_6L2(_oo, со). (10)

— 00

б) если постоянная С существует, то существует указанный ниже предел и имеет место равенство

C = -\\im[VN-iqrl

(x iq) [V^x — iql X (х)

dx

[fx — iq\

■■ (П)

в) если решение F+(x) задачи (6), (7) существует, то оно опреде­ляется равенством

(x-iq)2

(x — iq)[Vx — iq\ х (*)

-f-Cx + CJ (12)

Здесь С1произвольная постоянная.

§ 3. Метод построения приближенного решения задачи Римана (6), (7) основывается на сформулированной ниже теореме. Эта теорема явля­ется обобщением теоремы 2 работы [4].

Теорема. Пусть выполнены следующие предположения:

1. М и М* линейные операторы, определенные на линейном про­странстве А. Значения их лежат в линейном пространстве В.

2. Уравнение

Mf=g (13)

при данном элементе В имеет решение f А (возможно неединствен­ное).

3. Для любого элемента flt принадлежащего А,

(м-м)^ев0,

где В0 нормированное пространство и fi0 — 4. Приближенное уравнение

M~f = g

при данном элементе g є В таком, что

имеет решение f € /1; однородное, уравнение

Щ0   .0

(14)

(15)

(16)

(17)

Не ограничивая общности, можно принять, что Игл -[Ухг + д2 К (х)] = 1. Для

:        .... 3-2,--^

этого коэффициенты задач Римана примеров 1 й 2 нужно домножить на

Чзо

Н. Я. Тихоненко

имеет в пространстве А п линейно независимых решений fei, f02, ... r fon, и при этом

Alt (18)

foi€ Alt t = 1, 2,      я, (19)

а определитель

\(Th /о,)|^0, /, i= 1, 2, .-, л. (20)

Здесь Ax линейное  пространство  такое,   что  AX<=LA, а 7\, Т2, Тп система линейных функционалов, определенных на Ах.

5. При каждом элементе из В0 уравнение

М(р = ф (21)

разрешимо и имеет единственное решение в линейном нормированном пространстве А0 таком, что А0 с Аг, а

\(Т„ ср)| = 0, /= 1, 2.....п, (22)

для всех А0.

6. Оператор М М ограничен в следующем смысле:

|| (M-M)<f ||Во < \\М - М || Н ср ||л„ - (23)

7. Оператор М~' также ограничен:

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Н Я Тихонечко - К приближенному решению исключительного случая задачи римана теории аналитических функций