А М Улановский - К вопросу о безгранично делимой факторизации - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 5і9.21        А. М. УЛАНОВСКИЙ

К ВОПРОСУ О БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ

Безгранично делимое (б. д.) распределение Р допускает без­гранично делимую факторизацию (б. д. ф.), если справедливо пред­ставление Р = Р^Р_, где Р+ и Р_ б. д. распределения, со­средоточенные соответственно на [0, -f-oo) и (—оо, 0]. Крите­рий б. д. ф. в терминах характеристической функции (х. ф.) ф(£; Р) распределения Р получен И. В. Островским в работе [1, теорема lj;

Для того, чтобы б. д. распределение допускало б. д. ф., не­обходимо и достаточно, чтобы

Mm(f,_P)\.dt<00. (1)

1 + V

В работе [1] изучаются также вопросы б. д. ф. распределений с х. ф. вида (p(t; P) V(—ty(t)) (2), где у (s)~ преобразование-Лапласа б. д. распределения, сосредоточенного на [0, + оо), ■ф (f) логарифм х. ф. б. д. распределения. В силу теоремы Фел-лера [2, с. 646], распределения с х. ф. (2) являются б. д. Как известно [2, с. 647], функция y(s) допускает единственное пред-

ставление у (s) = ехр [ j ~(е~$х— 1) U(dx)}    (3),   где U(dx)~

(о, ~]

_    !     . Г   U (dx) ^

мера на   fO, + оо),   удовлетворяющая условию    \    [    j < оо.

[0, «)

Для функции t|3 (t) имеет место формула Леви—Хинчина

Wt) = b.G(t)=i$t+   J    [e'^-i-T^I^Gidy), (4)

(-~. ~)

где рвещественная постоянная; G (dy)конечная мера.

Для б. д. распределений с х. ф. (2) была доказана такая тео­рема [1, теорема 2]:

illа) Пусть y(s) фиксированно. Для того, чтобы при любой ty(t) распределение с х. ф. (2) допускало б. д. ф. необходимо и доста­точно, чтобы

[О, П У

б) Пусть i|) (£) фиксированно. Для того, чтобы при любой y(s) рас­пределение с х. ф. (2) допускало б. д. ф., необходимо и доста­точно, чтобы распределение с х. ф. ехр я[з (£)  допускало б. д. ф.

Цель статьи-доказать следующую теорему, дающую критерий б. д. ф. распределения с х. ф. (2) в терминах мер U (dx) и G (dy) (чтобы исключить тривиальный случай, предположим, что U {йх)ф Ф 0 и G      # 0).

Теорема 1. Для того чтобы б. д. распределение с х. ф. (2) допускало б. д. ф.,  необходимо и достаточно, чтобы

[0. ')

V-^U(dx)<oo, (6>

где U (dx)mspa из представления (3), а положительная не­прерывная функция и(х) определяется как  решение уравнения

А

°<Г-у, у)) dya=L, (7)

где G(di/)мера из представления (4), G([Л, Л]) > 0.

Левая часть уравнения (7) как функция от v монотонно убы­вает на [0, А] от бесконечности к нулю, следовательно, поло­жительное решение уравнения (7) существует, единственно и мо­нотонно возрастает, причем v (*)->-0, (х->- + 0) и существует предел limx_1y(x)^ + оо. Мы считаем подынтегральную функцию

в (6) в точке 0 равной этому пределу. Сделав в (6) замену пере­менных х = х (и), нетрудно убедиться, что теорема 1 может быть сформулирована так:

Для того, чтобы б. д. распределение с х. ф. (2) допускало б. д. ф., необходимой достаточно, чтобы   ^ / (v) V (dv) < -о, где

[0.1]

x(.v) = v/I(v); V([0, o]) = t/([0, x(v)]),

= ]"^Ж^. (8)

v

Заметим, что решение v(x) уравнения (7) удовлетворяет нера­венствам dl^x^v (x)^s с2х (9), где сх и с2 положительные по­стоянные Действительно

v(x)

откуда в силу (7) получается левое неравенство в (9). Справед­ливость правого неравенства в (9) вытекает из (7) и того, что при О < х < 1 выполняется v (х) < о (1) < А, так что

ГУ

А

{[-у. у)) Г  о (1-у- у})

у

г     dy> \ -^-dy = ct.

Ы.х) 0(1)

Легко видеть, что если в уравнении (7) число А заменить дру­гим числом А, для которого G([А, А]) > 0 и обозначить реше­ние нового уравнения через v(x), то[1] »(ї)хо(.ї) (и- + 0). Действительно, пусть для определенности Л > ~А. Тогда

А

»(*) J

"•y])dy<±.

у* ° X

о(х)

поэтому в силу монотонности по v левой части уравнения [7), v (х) > v (х). С другой стороны, при достаточно малых х > 0, на-

А А

пример, таких: v(x) <А/2 j 2±^Жйу< i+£ j ^ІЬ^ x

A

X dy^ \^х) J °^~уї ^ (здесь и ниже через с обозначаются

У(х) 1+0

положительные постоянные), откуда v (х)^.(\ -j-c)u(x).

В дальнейшем будем предполагать, что в (7) Л = 1, т. е. G([1, і]) > 0. Этого всегда можно добиться, положив G(dy) = = G(Ady). Очевидно, что б. д. распределения с х. ф. у("Фр, g(*)) и у(vp g((t)) либо оба допускают б. д. ф., либо оба нет.

Покажем, что из нашей теоремы вытекает сформулированная выше теорема 2 работы [1]. Рассмотрим сначала п. а). Если вы­полнено (5), то в силу левой части неравенства (9) будет выпол-няться (6). Наоборот, пусть (6) выполняется для решения урав­нения (7) с любой мерой G(dy). Поскольку при G (dy)~ &(dy) (мера Дирака, сосредоточенная в точке нуль) имеем в(ї)жКх(ї^ -> + 0), то справедливо (5). Теперь обратимся к п. б.). Как известно [I, формула (5)], б. д. распределение с х. ф. exp^(£) допускает б. д. ф. в том и только том случае, когда

-f1 < ~. (10)

г-!, i]

Покажем сначала, что (10) эквивалентно условию

v(x)xx(x-+ + 0). (11) Пусть выполнено (11). При любом 0 < х < 1 имеем

! 1

G(dy)       G([-y, у}) G ([-у, у})

J \у\ У J У2

1> I УI >v(x) v(x) u(.v)

1

dys^

<c\ dy.

v{x)

Так как правая часть полученного неравенства в силу (II) и (7) ограничена (следовательно, G({0}) = 0) и v(x)->0 (jc-^+O), то верно (10). С другой стороны, пусть выполнено (10). Поскольку

G{dy) _(    f     +      Г \(G(dy)

I     I У і      1    J       1        J       ) \ I У \ I Г—1,!] \\y!<v(x) l>\y\>v(xV

1 1

0([-р(х), о (х)})    . G([-y, у}) Г  О ([-у,

v(x)       V {X)

v{x\

то учитывая (9), получаем (11). Пусть распределение с х. ф. ехрф(0 допускает б. д. ф. Тогда имеет место (11), а из (11), оче­видно, следует (6). Наоборот, так как при U(dx) — e(dx) из (6) имеем Іїтх~хи(х) < со, то, учитывая (9), получаем (11),

х-у+0

Из теоремы 1 вытекает следующая

Теорема 2. Пусть мера U (dx) имеет плотность р (х) при 0 < х <б. Для того, чтобы б. д. распределение с х. ф. (2) до­пускало б. д. ф., необходимо и достаточно, чтобы

£

\p(vll(v))dv <оо, (12) о

где I (о) определено равенством (8), а є > 0 таково, что s// (s)<5. 114

Доказательство теоремы 2. Очевидно, функция x(v), оп­ределяемая уравнением (7), абсолютно непрерывна при v > 0. Причем, так как при 0<у<1/2

\   ^+G^=^~G([~l, W)>     \     G(dy) + + 1   [    G(dy) + G-«^-~G({-\,i\):.

2v> \y\>v

то почти для всех 0 < и < 1/2

X (v) = -77—-w      / (о)

■Поэтому равенство

j + G ([-и, к})

V I (в) /(о)

^tf(d*)~j/(o)x'(о)/>(«//(«))Л»

[0, х(е)] 0

доказывает равносильность условий (6) и (!2).

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

А М Улановский - К вопросу о безгранично делимой факторизации