В К Дубовой - Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме шура для аналитических функций - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 519.210       В. К. ДУБОВОЙ

ИНДЕФИНИТНАЯ МЕТРИКА В ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЕ ШУРА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. II.1

§ 5. Круги Вейля в задаче Шура

Дадим теперь геометрическое истолкование совокупности ре­шений проблемы Шура.

Как было отмечено в § 3 ((3.5), (3.6)), множество всех реше­ний проблемы Шура храктеризуется неравенством [0 (£), 1п'1(1,)х

9* (С)

X

е(0 /

/

>0    (5.1)  или  [9*(О, I]Bn-\t)jB7х

^0 (5.2), где Bn(t) и В/і(£) определяются соответственно по формулам (3.2) и (3.4). Введем обозначения

Wn = B~l{l)iBt-l{l) (5.3), Wn = B*n-x{l)]B7\l) (5.4)

и будем, следуя работе [2], называть матрицы Wn и Wматри­цами Вейля. В соответствии с (3.2) и (3.4) разобьем матрицы Вейля на блоки

Из (5.3) и (5.4) с учетом (3.2) и (3.4) находим

Rn = I + (1 - | SI2) \, п{1) СпАҐСпАІ п (t); (5.6) Rn AA(і) An'К, ij) > (5-7)

где, как и ранее Л„ = (/ — С„С^)-1. Из (5.6) и (5.7) следует, что в каждой фиксированной точке t,0 открытого единичного круга (отличной от нуля для Rn) матрицы Rn и Rn строго положи­тельны: Rn>I, Rn> I (5.8).

Из вида (3.2) и (3.4) матриц-функций Вп(£) и Вп(1) следует

ВпЮ = J-ЧВп (QjJ, J = ([   d) Отсюда находим W~ =J~lX

x jWnjJ.

Переходя к блочному виду (5.5), получаем

TnSn)(   Rn-Sn\    (lp 0)

1 Первая часть статьи опубликована в сб. «Теория функций, функцион-анализ и их прил.», вып. 37.

Откуда, учитывая (5.8), приходим к равенствам

R7l = SnR7lSn-fn (5.10); &Г1 =SaR71S,n-Tn (5.11),

R7lSn = SnR7l. (5.12)

В данном случае выполнены все условия, необходимые для построения теории Вейля [2], а именно:

1) каждая матрица Wn представляется в виде Wn = 5,7і (С) х

X jBn~l(Z) = ^ 5" —Тп) ' где -SriiS) неособенная /-растягиваю­щая (при |С| < 1) матрица-функция;

2) /-формы / — В71 (С) iB*n~l (0 монотонно не убывают с воз­растанием п;

3) блок Rn неособенный.

Поэтому, как и в работе [2], могут быть доказаны следую­щие утверждения:

Теорема 5.1. Совокупность матриц 9£LP q, удовлетворяю-

Г8*"

щих неравенству 10, I]Wn\i р50 (513)> образует матричный

круг К п. 9 = Сп + pg2 пир£ п, u£Lp,g, с центром Сп=

= SnRn~\ правым радиусом pd. п = Rn~l и левым радиусом pgt п

Теорема 5.2. С возрастанием параметра п круги Кп вкла­дываются друг в друга, правый и левый радиусы монотонно убы­вают.

Здесь круг Вейля (5.13) описан в терминах матрицы Wn. Ана­логичное описание может быть проведено в терминах матрицы Wn.

Полученные результаты позволяют поставить в соответствие матрицы-функции 0 (Q £SP. q 0 (С) = с0 + с& +      + . . . + с„С"+

+ ..., для которой А„>0, п = 0, 1, 2..... в каждой точке

С££> последовательность вложенных друг в друга кругов Вейля К0 cz Кг с . . . cz Кп сг ... Устремляя п->оо, приходим к пре­дельному кругу Вейля

\_ }_

Є = СМ +РІ „ир^, иы*</, u^L„, q, (5.14)

где С«, = limC„,  pg. «,= 1ітрг, „,  р<г, „ = limpd, „.  Отметим, что

в данном случае pgi „ = 0 (5.15). Действительно, из теоремы 5.1, равенств (5.7) и (5.11) находим

рґп =1Р +     к. п (у) л-ч;, „( і]. (5Л6)

Так как А^1 ^ / , то

Pgr1, > +     лр. i~j л;, „ (і]=r^LTi /р.

2   2-7 33

Откуда следует (5. 15). Это полностью согласуется с тем, что «бесконечная» задача Шура имеет единственное решение.

Предельный круг Вейля стягивается в точку в силу об­ращения в нуль своего левого радиуса. Но специфика задачи Шура, рассматриваемой в матричном случае, характерна тем, что наряду с левым радиусом pg,co = 0 предельный круг Вейля Ксо характеризуется и своим правым радиусом Pd,<x>, который, как показывают дальнейшие рассуждения, отличен от нуля.

§ 6. Исследование ранга радиусов предельного круга Вейля

1. Из теоремы 5.1 и (5.6) имеем р7мЮ = 1, + (1—\£\2)Кп&)СпА71СпА'п&). (6.1) Отсюда, учитывая, что С*п А71 Сп = (IС"пСп) — /, находим

9Ґп (£) = I |2П+2 Іч+ ( 1 - і І Г2) h-q.n (Є) (/ - С Ся)"1 Л,*,(£). (6.2)

Дальнейшие рассуждения основаны на установлении связи меж­ду радиусами кругов Вейля для функций 9(£)£SDf(, и 9 (Q= 9* (С) Sq.p- Поэтому там, где это будет необходимо, радиу­сы кругов Вейля для функции 8(g) будем обозначать pg,n(t,Q) Hprf,n(£, 9).

Определение. Матрицу-функцию rgin(^,Q) = (1/j t \^п+2) х XPg,n(C>9). 0<ІС|<1 (6.3), будем называть нормированным левым радиусом.

Введенное определение оправдывает следующая

Теорема 6.1. Имеют место равенства pd п ('С, 9) = rg п (£ , 9), п = 0,1,2,... (6.4)

Доказательство. Если 9 (£) = с0 + сх£ + ••• + сп t,n +•••, то 0(0 = Со Ч-йС-г- ... + c*nln + ... Поэтому информационные блоки для функции 0 (£) имеют вид An = I Сп С*п ,

і *

са

/ сГ Cq О где Сп =     '   '   ' .

\ * * « \  Сп Ся-1 ...Со

Если Q(l)£SP:Q, то, очевидно,

cn==Ugc:up,up = l   rh ")■ (6<5)

Из (6.2), учитывая (6.5), получаем pj} &, 9) = \ £ \ 2п+2 + + (1-|С|2)Лр,я(0^(/ СІ)"1 (Ус Лр.п(0- Так как х

3.4

хлр,»№=Лр,я({)/° l/ISI2n+2P^(£.9)=/P4-(l-IS|)2/|C|2x

-1   * 1 <Ap,«0/£Mn Лр.п (!/?)• Сравнивая с (5.16), находим ~2h~+2 X

X ріп (£, 9) = РіГ«    . 6)- Учитывая теперь (6.3), приходим к (6.4).

Равенство (6.4) позволяет доопределить функцию rg%n (£, 0) в точке С = 0, полагая rg,„ (0, 0) = р</,„ (0, 0). Кроме того, из дока­занной теоремы следует, что существует предел rg>ca (£, 0) = = lim rg>„(£, 0), [ < 1; при этом имеет место равенство pdtX (С,6) =

/г-* со

= ''g.co(C~0), |£|<1 (6-6). Матрицу-функцию rgiCO(£,0) будем на­зывать нормированным левым радиусом предельного круга Вейля.

Теорема 6.2. Справедливы равенства det pd п 6) = det rg (С,8), n = 0, 1, 2,... (6.7).

Доказательство. Из (5.5) следует, что матрицу Вейля Wn при помощи треугольного преобразования можно привести к диагональному виду

Wn = SnRn1 !р

-R

О 5,

?я О І

п ^7* S*n~Tn \

0

(6.8)

Так как pd.n (£, 8) = Rn \ pgM (С, 8) = Sn RnlS'n Tn, то из (6.8) находим det Wn = (— l)'det p7« (£. 6) det pe.„ (£, 8) (6.9). Co гласно (5.3)

п

wn = Bn-l(i)jBn-l(t,), вп(0 = Пьк(о, (6л°)

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

В К Дубовой - Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме шура для аналитических функций

В К Дубовой - О характеристической оператор-функции вейлевского семейства узлов