Н И Кодак, В Н Ложкин - Изотропная плоскость с двумя круговыми вырезами в случае экспоненциальной пластичности - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2013, № 1

УДК 539.374

ИЗОТРОПНАЯ ПЛОСКОСТЬ С ДВУМЯ КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ В СЛУЧАЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Н.И. Кодак, В.Н. Ложкин

Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Донецк

Методом последовательных конформных отображений изучено упругопластическое равновесие неограни­ченной изотропной плоскости с двумя одинаковыми круговыми вырезами в случае экспоненциальной пластичности. Плоскость сжимается равномерными усилиями вдоль и поперек линии центров вырезов. Контуры вырезов свободны от внешних воздействий. На неизвестной границе раздела упругой и пластических областей напряжения являются непрерывными.

Определены условия, при которых имеет место начальный пластический охват контуров вырезов и при кото­рых возможно наибольшее сближение пластических областей.

Ключевые слова: неограниченная изотропная плоскость, круговой вырез, экспоненциальная пластичность, упругопластическое равновесие, начальный пластический охват, упругая и пластическая области, неизвестная гра­ница раздела, конформное отображение.

Введение. Упругопластическое равновесие изотропной среды с круговыми вырезами для плоской деформации или обобщенного плоского состояния при различных условиях пластичности можно опи­сать с помощью аналитических функций. Две из них характеризуют напряженное состояние упругой части среды, остальные конформно отображают внешности единичных окружностей на внешности неуп­ругих областей, охватывающих контуры вырезов и несоприкасающихся друг с другом. Напряженные состояния неупругих областей не зависят от внешнего нагружения среды. Последнее определяет только внешние границы этих областей [1].

Анализ исследований, в которых коэффициенты разложений аналитических функций определя­лись методом малого параметра из условий непрерывности упругих и пластических напряжений на неиз­вестных границах их раздела, сделан в монографии [2].

В настоящей работе методом последовательных конформных отображений [3] изучено возникно­вение и развитие неупругих областей в изотропной плоскости с двумя одинаковыми круговыми выреза­ми от начального неупругого охвата их контуров в случае экспоненциальной пластичности [2]. В каче­стве исходного приближения берется конформное отображение, построенное методом малого параметра для идеальной пластичности [1]. Из условий непрерывности упругих и пластических напряжений на подлежащей определению границе их раздела методом коллокации находятся коэффициенты разложе­ний аналитических функций, характеризующих напряженное состояние упругой части плоскости. Затем этим же методом уточняются коэффициенты отображения для построения следующего приближения решения задачи.

Постановка задачи. Рассмотрим неограничен­ную изотропную плоскость с двумя одинаковыми кру­говыми вырезами радиуса R . Вырезы расположены на оси        на расстоянии IR от центра координат

ох і Х2 . Плоскость сжимается усилиями ql вдоль оси

ох і и ^2 " вдоль оси ОХ2 .

Контуры вырезов свободны от внешних воздей­ствий. Расстояние между центрами вырезов и интен­сивность усилий q и ^2 таковы, что в плоскости возле вырезов возникают пластические области. Они полностью охватывают контуры вырезов, не соприка­саются и их внешние границы находятся на расстоя­нии hR > 0 друг от друга по оси охі (рис. і).

Геометрическая и силовая симметрия равновесия плоскости позволяет исследовать возникновение и развитие пластической области около одного - правого выреза

Введем безразмерные координаты

z = %і +     = R(Хі + 7Х2), z -1 = rexp(z#). (і) Напряжения в правой пластической области удовлетворяют уравнениям равновесия, соотношени­ям экспоненциальной пластичности и условиям на контуре выреза [2]

© rдор / dr + ap -арв + дтр0 / дв = 0, rdrpe / dr + 2тргв + дарв / дв = 0;

2

(ор -ар )2 + (2грв)2 = 4к2 {і - ехр[-к-1 + (2*)-1 ? + ар)] } ; (2)

ор +<jP < 2о0; | z -11= r = 1: ор=трв = 0.

Здесь к и о 0 - постоянные, имеющие размерность напряжений.

Напряжения в упругой части плоскости удовлетворяют уравнениям равновесия, соотношению совместности и условиям внешнего нагружения [4]

доЦ/д^гіУд#2 =0, дгіУд£ + до{1/д!;1 =0; (3) (д2/д£2 +д2/д#22)(оіЄі 22) = 0;  |z|-oo:      =-qx,  о^І = -72,  *\2 = 0

На границе раздела упругой и пластической областей напряжения являются непрерывными. Аналитическое решение задачи. Решение задачи (2) имеет вид [2]

ор =-k[2lnr-/(1 -r-2)], орв =-к[2(1 + lnr)-/(1 + r-2)], трв =0. (4)

Здесь /(£0) удовлетворяет уравнению

1 -/(£0) + In/W + S0 = 0, ^0 = *-1<0, 0 <°°. (5) Из него следует, что /(0) = 1, /(да) = 0. Согласно равенств (4), значение / = 0 соответствует случаю идеальной пластичности [2].

Напряженное состояние упругой части плоскости описывается функциями Ф(z) и (z), являю­щимися решением задачи (3). С учетом геометрической и силовой симметрии задачи их можно предста­вить так [1]

Ф(z), Ч>(z) =  / 2, р + 2 К,Мz),

n=1 (6)

^ (z) = ?"(n+1) (z -1) + (-      ?<n+1) (z +1),

где

а = (2k+ q2),  р = (2k- q2). (7) Значения ?(z -1) и ?і(z +1) находятся из равенств

z -1 = r)fi>(?),  a(g) = 2 cn+2S~n, С = 1;  ? = рехрф);

n=-1 1 (8)

z+1=^і^іХ      =-®(-?і) = 2 (-1)n+ Сп+2?1П.

n=-1

Здесь функции    и z +1 = Г0^і(^"і) конформно отображают внешности единичных окружностей | ?|= 1 и | |= 1 соответственно на внешности правой и левой пластических областей. Для упругих напряжений справедливы равенства [1]

О - оіі + 2лх{2 = 2k[(z - z)^z (z) + 4>(z)], оіі +      = 2к[Ф(z) + Фф]. (9) В окрестности правой пластической области функции (6) принимают вид

Ф(?), Ч>(?) = / 2, р + 2 К,К )Wn (?),

n=1 (10)

wn (?) = ?"(n+1) + (-Dn+1?r(n+1)(?),

где значения (?) находятся из равенства

= 2/ / r0 + ? + 2 Cn+2 [?-n + (- 1)n ?1-n (?)]. (11) n=0

Соотношения (9) перепишутся так

°P - ітрф = к[Ф(?) + Ф(?) - Ц(?,?)Ф?(?) - ^2(?,g)4(?)]

(12)

аер+аеф= 2к[Ф (?) + Ф(?)], Напряжения (4) на внешней границе правой пластической области z -1 = r0 со(о) принимают видаР ~ітрф=-к{1 + 21nro + ln\co(o)\2 -у-[1 -ут-2\сэ(о)\-2]С1ъ(о,о)}, cjP+(jP= -2к[1 + 21n т0 + ln \ «(a) \2 -у]. В равенствах (12), (13) введены обозначения

Ql(g,g) = g[a(g)-to(g)]l gto'(g), fy&g) = gto'(g)l gto'(g), ^

Q3(g,g) = g®'(g)® (g)іg ®'(g)® (g), a = ехр(іф).

Коэффициенты To,cn,an,bn разложений (8), (10) находятся из условий непрерывности упругих (12) и пластических (13) напряжений

Ф(сг) + Ф(a) - Q1 (a,a)<$>'g(a) - Q2 (a, а)Ч>(a) =

= -1 - 21n то - ln \ со(ст) \2 + [1 - уто-2 \ со(ст) \-2 ] Q3 (a, a),

Ф(Q) + Ф(a) = -1 -21nт0 - 1n\ a>(a)\2 +у. (16) Численное решение задачи. Решение рассматриваемой задачи строится методом последовательных конформных отображений [3]. Для фиксированного расстояния l   и фиксированного значения параметра Р в качестве исходного берется отображение, построенное методом малого параметра для идеальной пла­стичности [1], уточняется значение параметра (Xn, при котором возможен начальный пластический охват

контура правого выреза, когда внешняя граница неупругой области касается этого контура (рис. 1).

Строится упругое решение для полученного отображения. Из условия (15) методом коллокации

находятся коэффициенты an и bn разложений (10). Для этого его распишем так

2 an [2 Re t//n (a) - Re Q1 (a, a) Re t//'n (a) + Im Q1 (a, a)Im t//'n (a)] -

n=1

- 2 bn [Re Q2 (a, a) Re Yn (a) - Im Q2 (a, a) Im Yn (a)] =

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Н И Кодак, В Н Ложкин - Изотропная плоскость с двумя круговыми вырезами в случае экспоненциальной пластичности

Н И Кодак, В Н Ложкин - Упругопластическое состояние изотропной плоскости с двумя круговыми вырезами при двустороннем внешнем сжатии