А А Милютин - Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ИЗОМОРФНОСТЬ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НАД КОМПАКТАМИ КОНТИНУАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ

А. А. Милютин

В настоящей работе излагается в несколько измененном виде содер­жание первой части нашей диссертации (1952 г.), посвященной исследо­ванию пространств непрерывных функций над компактами. Пользуюсь случаем выразить глубокую признательность В. И. Гурарию, написавшему введение к работе, составившему схему доказательства основной теоремы и сделавшему ряд изменений в первоначальном тексте работы.

Введение

Банаховы пространства Ех и Е2 называются изоморфными, если суще­ствует линейное отображение А Ех на Е% такое, что \ А || < оо, |Л-1Ц< со (в этом случае мы будем писать Е1 Е2). Обозначим через Е(Т) ба­нахово пространство, Т метрический компакт) пространство всех непре­рывных отображений F компакта Т в Е с нормой |] Ц = max [| F (х) || (легко

х t т

видеть, что Е(Т) банахово пространство); если Е есть вещественная ось, то будем Е(Т) обозначать через С(Т).

Главный результат настоящей работы, полученный еще в 1952 г., составляет

Основная теорема. Если Ki и /С2 метрические компакты конти­нуальной мощности, Е банахово пространство, то Е (Ki) изоморфно Е (К2).

Этот результат не был опубликован автором. Между тем из работ, относящихся к близким вопросам и появившихся после 1952 г., не следует даже частный случай основной теоремы, когда Ki и /С2 есть конечно­мерные кубы разных размерностей. Кроме того, нужно отметить, что в по­следние годы появился ряд работ, посвященных изоморфной классифи­кации пространств непрерывных функций над топологическими бикомпак­тами, и настоящая работа прямо относится к этому кругу вопросов.

В целях простоты здесь будет проведено доказательство основной теоремы для случая пространств вида С (Г). Доказательство в общем случае не требует существенных изменений.

Предлагаемая схема поможет читателю быстрее выделить основные идеи и провести проверку тех или иных деталей доказательства. Нижняя горизонтальная черта в прямоугольнике означает, что записанное в нем утверждение сводится к совокупности утверждений подчиненных ему прямоугольников. Верхняя горизонтальная черта означает справедливость соответствующего утверждения. Проверка правильности основного утверж­дения может состоять, например, в том, что на отдельно заготовленномэкземпляре схемы в незаполненных прямоугольниках проставляются (когда это законно) сначала нижние, затем верхние черты до тех пор, пока не будет стоять верхняя черта в прямоугольнике основного утверждения.

Изменения, сделанные в настоящей работе по сравнению с текстом диссертации, в основном связаны с заменой некоторых доказательств ссыл­ками (преимущественно на работы, появившиеся после 1952 г.).

§ 1. Условимся пользоваться следующей терминологией и обозначе­ниями.

I. а) К, Къ К2 метрические компакты континуальной мощности.

б) S, a, t компакты, гомеоморфные канторову множеству на отрез­ке [0,1].

в) / — отрезок [0,1].

г) G гильбертов кирпич.

II. Прямым дополнением (дополнением) к подпространству Р в ба­наховом пространстве Е будем называть такое подпространство Q в Е, что Р + Q = Е.

III. Будем говорить, что Е1 дополняемо вкладывается в Е2(ЕЪ Е2банаховы пространства), если в Е2 существует подпространство Еъ изо­морфное Еі и имеющее в Е2 прямое дополнение.

IV. Пусть Р подпространство в банаховом пространстве Е. Линей­ный оператор А, определенный на Е, называется проекцией из Е на Р, если выполнены условия:

1. Ах б Р при х Е;

2. Ах = х при х Р.

V. Пусть Еъ Е2, ... банаховы пространства. Через (Е1@)Е2ф ...)С(1 обозначается пространство последовательностей {е£}™, e££Eit i = 1, 2, ... таких, что Urn || е,-1| = 0 с нормой ||{е,}"|| = тах||е/-|| [2].

VI. Пусть Ту подкомпакт метрического кемпакта Т2, X линейное многообразие в С(7\). Будем говорить, что X продолжаемо в С(Т2), если существует линейный оператор А из X в С(Т2) такой, что для любой / (х) б С (7\) Л/ (х) = F(x)eC (Т2) совпадает с / (х) при х 7\ и

max \F(x)\ = max | f ix) \.

Множество .4ХсС(Г2) будем называть продолжением X в С(Т2).

Лемма 1. C(S) изоморфно (C(S) фС(5) © ...),„.

Доказательство. Пространство (С (5) фС (5) ф ...)Са изоморфно пространству C(S]), где SL есть сумма счетного числа попарно непересе­кающихся канторовских множеств, стягивающихся к точке х, лежащей вне каждого из них [1]. Но так как, очевидно, 5Х гомеоморфно S, то С (S-J изометрично С (S), откуда и вытекает справедливость леммы 1.

Лемма 2. С (К) дополняемо вкладывается в C(G).

Доказательство. На основании теоремы Урысона можно, не нару­шая общности, считать, что К есть подмножество в G. На основании теоремы Борсука [5] существует продолжение Р aC{G) подпространства С (К) в C(G) (для случая пространств вида Е(К), где Е — банахово или даже локально-выпуклое пространство, можно воспользоваться обобщением теоремы Борсука, данным, например, в [6]). Очевидно, множество всех тех функций из C(G), которые обращаются в нуль на К, есть прямоедополнение к Р в С (G) и так как Р изометрично С (К), то лемма 2 дока­зана.

Лемма 3. К содержит подмножество, гомеоморфное S.

Доказательство. Известно, что любой компакт континуальной мощности можно непрерывно отобразить на отрезок / = [0, 1J. Обозначим это отображение через F. В К есть такой подкомпакт К', что его образ есть /, но никакой его подкомпакт уже не дает в образе весь / (как легко видеть, в качестве К' можно взять пересечение К и всех подком-пактов в К, которые при отображении F дают в образе весь /). Итак, I = F(K').

Пусть 8 — произвольное положительное число. Множество тех точек К', которые входят в прообразы диаметра, большего чем о на К', нигде не плотно на К' Действительно, множество таких точек замкнуто. Следо­вательно, если это множество не является нигде не плотным на К', то у него найдутся внутренние точки на К'. Возьмем какую-либо внут­реннюю точку этого множества и опишем вокруг нее окрестность такую, что она состоит вся из внутренних точек этого множества и имеет ради­ус относительно внутренней точки, меньший, чем —■.  Если мы теперь

удалим эту окрестность из К', то в К', очевидно, будет найден подком­пакт, образ которого есть /, что противоречит выбору К'.

Итак, множество тех точек на К', которые входят в прообраз какой-нибудь точки х є / и имеют диаметр, на меньший, чем 8, нигде не плотно на л . Но отсюда следует, что множество точек не взаимной однознач­ности на К' (т. е. точек q б К' таких, что F~l(F(q)) состоит более чем из одной точки) является множеством первой категории. Следовательно, множество точек взаимной однозначности на К' множество второй кате­гории. Но тогда в нем есть подмножество, гомеоморфное канторовскому множеству. Лемма доказана.

§ 2.

В этом параграфе приводится доказательство утверждения 1.1.4.1.1. (см. схему).

Рассмотрим обыкновенное канторовское множество а (мы мыслим это множество лежащим на отрезке) и некоторый отрезок /. Отобразим а на / путем склеивания концов смежных интервалов. Отображение это обозначим через /. Таким образом, / = / (-з). Возьмем теперь счетное число экземпляров а и счетное число экземпляров /. Каждый экземпляр отли­чается от другого лишь индексом. Обозначим систему экземпляров а через {аа}, а систему / — через {/а).

Рассмотрим теперь тихоновские произведения Y1 аа и {"] /а. Первое

а а

произведение дает множество, гомеоморфное канторовскому множеству. Второе произведение дает гильбертов кирпич. Обозначим J~[ с» через Г,

_ а

a f[/, через G.

а

Исходя из отображения связывающего а и /, построим отображе­ние <р, которое будет отображать Т на G. Именно пусть {Ра} точка Т (Ра о*). Тогда f {Pa) есть точка /„, a {f(Pa)} есть точка G. Тогда 9 ({Ра}) = = {f(Pa)}- Легко показать, что отображение » непрерывно и ф(Т) = С. Это сразу следует из непрерывности / и из того факта, что / (оа) = /<*.

В дальнейшем мы будем изучать это отображение ср и еще те, кото­рые из него возникают, если еще допустить гомеоморфные преобразования G на себя.

СХЕМ,

1.1.1.

Если каждое из банаховых пространств и Е дополняемо вкладывается в другое  и   Е    (Е © £ © .  . . .V, то X ^ Е.

В. стр. 151 Д. фактически дано в [3], (см. также [4]).

1.1.3.1.

К содержит подмножест­во, гомеоморфное S. Д. стр. 152

1.1.3.2.

Если  Т[ есть пбдкомпакт в Т2 С J продолжаемо в С (7%) В. стр. 151 Д.

1.1.4.1.1.

Существует отображение Ф S на G и семейство где q пробегает G, такие что

2. (л<з непрерывна на S.

3. Для любой F (х) С (S)   I F (х) d\s.q есті

s

функция от q.

1.1.4.1.1.1.

Существует непрерывное отображение / канторова множества <т на отрезок / = [0,!|. Индуцированное им отображение <р ком­пакта Т = а X а X .... на гильбертов кирпич G = / X / X . . . . непрерывно. 7' гомеоморфно канторову множеству. В. стр. 151—152  Д. стр. 152

Пусть t канторово ь 1Х гомеоморфизмов / 1 им семейство Гх гоыес отображение Ф компаї Р Т, i£t. Ф{Р') =

Условные обозначения: В. вспомогательные сведения (обозначения, опреде.[2]

Д. доказательства (или доказательства сводимости Номера ссылок соответствуют списку литературы к этой работе. При ссылке на насте

СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

С {К) изок: В. СТЁ

1.1.3.

С (S) дополняемо вклады­вается в С (К) В. стр. 151

1.1.3.3.

Если   1\ подкомпакт  в Т2,   R продолжение С (Ті) в С (Т2), то R дополняемо в С (7*2). Допол­нением к R в С (Т2) может служить множество всех функций из С (Т2), обращающихся в нуль на Тх. Д. очевидно.

1.1.4.

С (G) дополкя дывается в В. стр.

G и семейство мер ц-g на S, . такие что

ісредоточено   на   Ф~1 (q) и

F (х) d-iq есть непрерывная

Определим о тобра жен ие Дон F (х) Є С (S) Є S

Если каждой ? (q) g С (С 5 (Ф(.\-)) Є C(S), то мы.j рое подпространство С а из С (S) на С (причем с f этой проекции а В. сто. !

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

А А Милютин - Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности