М Ю Царьков - Изоморфизмы аналитических пространств перестановочные со степенью оператора обобщенного интегрирования - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ИЗОМОРФИЗМЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ, ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СО СТЕПЕНЬЮ ОПЕРАТОРА ОБОБЩЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

М. Ю. Царьков

Рассмотрим пространство %г<, 0 < R < со, всех однозначных аналити­ческих в круге \z[<R функций с топологией компактной сходимости [1].

Пусть {aft}£=o некоторая последовательность отличных от нуля ком­плексных чисел, удовлетворяющая следующему условию:

для любого q > 1 существуют такие положительные постоянные Cl {q) и С2(<7), что

^ < |^| < С,. (1)т. е. _

1.

lim у | £*±i

Через / и D обозначим операторы в 3t#, определенные на базисных элементах {z"}k=o, соответственно соотношениями

lzk = °k+1 zk+1

Dl =0, 02*+г =z*. k^O.

Тогда, как известно [2], в силу правого неравенства в условии (1), оператор / может быть расширен до линейного непрерывного оператора! отображающего 31 я в себя.

Аналогично в силу левого неравенства в (I) оператор D расширяется до линейного непрерывного оператора в %R.

Для любой функции F(z) = У} bkzk, принадлежащей %н, имеем

k—Q

/F(z) = yj bk^zk+\

мтяі CLh

k = Q

Заметим,- что при ak = ~ , k >0,

г

IF [г) = j F(l) (К о

и

no, >     dF (г) DF (z) —~ .

Естественно, что операторы / и D называют соответственно операто­рами обобщенного интегрирования и обобщенного дифференцирования.

В настоящей заметке доказаны для довольно широкого класса опера­торов обобщенного интегрирования теоремы,/ ранее известные только для

частного случая оператора интегрирования (ak = і) [3, 4].

Кроме того, одноклеточность оператора / получается при более сла­бых предположениях, чем в [5].

§ 1. Вспомогательные построения и утверждения

Зададим на %R преобразование В, которое каждой функции F(z) =

00

= £ Ь;/\ принадлежащей %Ri ставит в соответствие числовую последова­тельность \—\

Пространство последовательностей B%R, наделенное топологией, пере­несенной преобразованием В, будем обозначать LR.

Из определения LR следует, что LR пространство последовательно­стей х = {!й}Г=съ суммируемых с весом {| ак | г*'}Г=о при любом г, 0 < г < R, в котором топология задается системой полунорм

11*11- = S )ak\rk\ \k\, 0<r<i?. (2)

Условие принадлежности х = {?fe}fe=o к LR можно записать, учитывая формулу КошиАдамара,

Шй£Тет"<-і-. (3)

СОВОКУПНОСТЬ ЭЛеМеНТОВ {efe}"=0 ИЗ tR,  ГДЄ ek = {&fts}s=0. °ks символы

Кронекера, есть образ базиса {akzk}k=o пространства %R и потому является базисом в LR.

Операторы / и D определяют в LR соответственно операторы S = В/В-1 и S* = ВОВ~г, которые в действии на базисные элементы дают

$ek ek+v S*e0 = 0,   S*efe+1 = ek,   k > 0.

Введем в рассмотрение банаховы пространства l{r), 0<r<R, после­довательностей х = {1к}к=0, суммируемых с весом (! ак | /"*}£=<) и нормой (2).

Нетрудно видеть, что пространство LR является проективным преде­лом банаховых пространств 1(г) при /•->/?.

Предположим теперь относительно последовательности [ак}к=о, что при некотором положительном С

|ak+., | < С | aka, |, k, v > 0. (4)

Из неравенства (4) следует выполнение правого неравенства в условии (1).

Как обычно, сверткой двух последовательностей х = {^}Г=о и у = = {т]А}Г=о будем называть последовательность ху = {Сй)Г=о. где

k

s=0

Вследствие условия (4) выполняется неравенство

\\xy\\r<C\\xl\\y\)r, 0<r<R, (5)

и значит, банаховы пространства / (г), 0<r<R, со сверткой в качестве умножения становятся коммутативными нормированными кольцами с еди­ницей е0 [6]. Неравенство (5) позволяет также заключить, что LR явля­ется топологическим кольцом [7].

Элемент х называется регулярным, если в кольце найдется элемент у такой, что произведение ху равно единице кольца.

Элемент коммутативного нормированного кольца регулярен тогда и только тогда, когда он не принадлежит ни одному максимальному идеа­лу [6].

Из (4) следует существование предела

а Итуг\ак\>0

1см. [6]). Линейный мультипликативный функционал Фг, определенный на 1(г), 0<r<R, равенством

ft=0

при^<<хг непрерывен и множество Rz = Кг): Ф2 (х-) = 0\ образует максимальный идеал. Как показано в [6], других максимальных идеалов в / (г) нет.

Таким образом, для того, чтобы элемент х кольца 1(г) был регуляр­ным, необходимо и достаточно, чтобы Фг{х)ф О для |z|<w.

Так как LR =   f)  I (г), то для регулярности элемента х из LR необ-

0</-<«

ходимо и достаточно, чтобы х был регулярным в каждом /(/-), 0 < г < R.

Через /Иа обозначим при а > 0 множество комплексных чисел г, удов­летворяющих неравенству \z\<aR, а при <х = 0—{0}.

Тогда, как следует из предыдущего, имеет место

Лемма. Элемент х кольца LR регулярен тогда и только тогда, когда Фг (х) ф 0 при любом z из Ма.

При a > 0 функция ф (г) = Фг (х) аполитична на Ма при любом х из LR.

Отметим, что Sx eYx, т. е. S оператор умножения на ev а 5" (п > 1)—оператор умножения на еп (так как еп = е").

Условимся под ej понимать е0, а под S0 единичный оператор Е.

§ 2. Общий вид изоморфизмов 3t#, перестановочных с /"

Предварительно докажем теорему, дающую общий вид линейного непрерывного оператора в %R, перестановочного с

Теорема 1. Для перестановочности линейного непрерывного оператора Т с (п > 1), необходимо и достаточно, чтобы он имел вид

r=S'(S tP,kIk) D»AP. . (6)

где '

A F (г) = А„ ( £ &,г*) = £ W^",    ■ (7)

^ ft=0 s=0

0<p</z1, Ц. коэффициенты tPt k удовлетворяют условию

sup   YimY\ tP, kak | < ~. (8)

0<p<n—1    ft K

Замечание. Операторные ряды в формуле (6) сходятся. на каждом элементе пространства %R.

Доказательство.   Пусть  Т линейный   непрерывный оператор

в 4R, перестановочный с Г. Тогда Т = ST5_1_перестановочен с Sn, т. е. %■ умножением на ё[. И обратно, из того, что f перестановочен с S" сле­дует, что Т = B~~l7TB перестановочен с 1п. Положим

tp=T(?v   0<р<;г \.

Тогда

fesn+p = esnf^ = esntp = ^esn>    s. ^ 0,    0 < р < П — 1,и оператор Т в действии на произвольный элемент пространства Lr дает

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

М Ю Царьков - Изоморфизмы аналитических пространств перестановочные со степенью оператора обобщенного интегрирования

М Ю Царьков - Изоморфизмы некоторых аналитических пространств перестановочные со степенью оператора дифференцирования