И Л Иванова - Квазианалитические случайные процессы - страница 1

Страницы:
1  2  3 

КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

И. Л. Иванова

Предметом настоящей статьи являются случайные процессы, корре­ляционные функции которых принадлежат некоторым квазианалитическим классам, а также некоторые случайные процессы, определяемые рядами или интегралами Фурье.

Хорошо известна связь между дифференциальными свойствами или аналитичностью случайного процесса и соответствующими свойствами его корреляционной функции.

Например (см. [1] и [2]):

I. Если корреляционная функция B(t, s) случайного процесса f(t, ш) имеет непрерывные производные порядка (2/г -J- 1) и непрерывные симмет­ричные производные порядка (2/г +■ 2) при s[1]=>t, то случайный процесс f(t,u>) почти наверное дифференцируем п раз.

Отсюда следует, что если корреляционная функция случайного про­цесса неограниченное число раз дифференцируема (при s = t) и производ­ные ограничены в совокупности, то случайный процесс почти наверное дифференцируем неограниченное число раз. [2]

2. Для того, чтобы случайный процесс / (t, со) был аналитичен в среднем квадратичном, необходимо и достаточно, чтобы корреляционная функция В (t, s) процесса была аналитична при s t.

3. Случайный процесс f{t,<a), аналитичный в среднем квадратичном, почти наверное аналитичен, если совокупность значений его производных при t = О ограничена.

Представляет интерес изучить также связь между квазианалитичнос­тью случайного процесса и его корреляционной функции.

В статье будут рассмотрены некоторые специальные квазианалити­ческие классы функций и получены условия квазианалитичности случайных процессов, представимых рядами и интегралами Фурье.

Автор выражает искреннюю благодарность Н. С. Ландкофу за поста­новку вопроса и внимание, проявленное при выполнении этой работы.

§ 1. Случайные процессы с квазианалитическими корреляционными функциями

Определение 1. Будем, называть классом Cs(тп), отвечающим последовательности чисел тг, тг, ... , та, .. . множество всех беско­нечно дифференцируемых случайных процессов, почти все выборочные функции -которых удовлетворяют неравенству:

|<о)| <г"тп   (n = 0, 1, ...). где г = г(<а) является случайной величиной.

И. Л. Ив'анова

Определение 2. Случайный процесс f(t,w) назовем квазианали­тическим, если для почти всех его выборочных функций из равенства (/») (t0, о)) = 0; = 0, 1, . . . ) следует f (t, о>)==0.

Пусть / (t, со)стационарный случайный процесс и В (т)его кор­реляционная функция.

Ниже мы увидим, что квазианалитичность случайного процесса f(t, to) связана с ограничениями, накладываемыми только на четные производные корреляционной функции В (і). В связи с этим полезно ввести следую­щее определение.

Определение 3. Функцию В (т) назовем принадлежащей классу С г {hi), если

х   \BW(z)\<rnhn   (я = 0, 1, ... ).

Заметим, что из принадлежности функции В (Ч) классу С2 (/•>„) следует принадлежность ее классу C{mk), где

mk = { І2п при fe = 2n       (п =0, 1, ... ).

і со при k = 2п + 1

В этом случае С2 (/.,„) =C(mft).

Лемма 1. Для квазианалитичности класса Ct{l2n) необходимо и до­статочно, чтобы последовательность [Yhn\ удовлетворяла условию Кар-лемана.

Доказательство. Выше мы видели, что C2(l2n) = C(mk), где

т.

_ ( 11п при k = 2п

~ \ со при k = 2п + 1    (л - U. 1, ■ • - )•

Необходимое и достаточное условие квазианалитичности класса С (mk) дает известная теорема Карлемана (см. [3]). Оно состоит в том, что

со

In Т (х) . ,*ч

где 7» = sup—. Очевидно, что

xk хзп / хп

Хп

supi7T

Если положить Г (х) = sup       , то Т (х) = Т2 (х) и расходимость ин-

ОС

/*ч Г І" Т (х)

теграла (*) равносильна условию \     2 - = со.

і

Это и значит, что квазианалитичность класса С2 (fan) эквивалентна тому, что последовательность {K^aJ удовлетворяет условию Карлемана.

Теорема 1. Если корреляционная функция В (-) стационарного слу­чайного процесса f (t, со) принадлежит квазианалитическому классу С2 (^J> то случайный процесс квазианалитичен и принадлежит классу Сs(j/ 11п).

Доказательство. По условию теоремы JБ(2">(т)| <гп12п (п = = 0, 1 . . .). Не ограничивая общности, можно считать г > 1. Из леммы 1 следует, что последовательность ^2„! удовлетворяет условию Карле­мана.

Таким образом, нам достаточно показать, что для почти всех выбо­рочных функций случайного процесса f(t,<a) имеет место неравенство

\Pn4t,<o)\<rni(b>)VITn  (п = 0, 1, ... ). Используя неравенство  Чебышева, получим: Р {| /<") (t, со) > rn Vhn для хотя бы одного

Л=Л„ п.—па

_ у в™ (0)    у гчш _уі

п=па п=п0 п=па

Отсюда следует, что для почти всех со существует такое п0 (со), что для всех /г > п0 (со) выполняется неравенство |/(/!) {t, со) | < rn Vhn-

За счет увеличения г при каждом со можно обеспечить выполнение последнего неравенства и для п < п0 (со), т. е. для почти всех со

|р>(Л«)| <г?(со)Т//~   (я = 0,1,...), что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь нестационарный процесс f(t, со) с корреляцион­ной функцией В (t, s).

Следуя Мацаеву и Ронкину (см. [4]), введем следующие определения и лемму.

Определение 3. Класс функций двух переменных B(t,s) назы­вается квазианалитическим, если из равенства - 0(Р>9=

dtp dsq t=tc

= 0, 1, ... ) следует B(t,s) = 0, s=s«

Определение 4. Функцию B(t, s) назовем принадлежащей классу М2 (тп), если

-~^У <гптп   (/1 = 0, 1, ... )•

Лемма 2. Для квазианалитичности класса М2 (тп) необходимо, чтобы последовательность {Утп} порождает квазианалитический класс С (У^ягя) функций одной переменной.

Доказательство.

Для доказательства воспользуемся следующей теоремой (см. [4]): Если функция о. (х, у) является монотонно растущей функцией от

j х | и | у | и удовлетворяет условию J ln ^^'^ 1 dx < со, то существует

целая функция конечной степени B(t, s), удовлетворяющая условию:

lim   а (х, у) В (х, у) = 0.

Пусть последовательность {Ymn) порождает неквазианалитический

класс функций одной переменной. Тогда j*   TJX^ dx < со,  где Г(х) =

д-я 1

= sup -=. п   V тп

Поэтому функция Га (1 + j х | + \ у j) (1 + х2 + г/2)2 удовлетворяет усло­виям цитированной теоремы.

Следовательно, существует целая функция конечной степени B(t, s), для которой

lim   В{х,у)ТЦ\ +\х\+\у\)(У + л;2 + г/2)2 = 0. (**)

Так как функция Т (х) возрастает, то

T(Vw)<T{l + \x\+ \у\).

СО со

Покажем, что функция В (t, s) = j*  j В (x, y)eitx+isydxdy принадлежит

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

И Л Иванова - Квазианалитические случайные процессы