Л Винницька - Застосування ієрархічного базису на трикутнику до розв'язування задач теорії пружності - страница 1

Страницы:
1 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ VISNYK LVIV UNIV

Сер. прикл. матем. та інформ. Ser. Appl. Math. Comp. Sci. 2007. Вип. 13. C. 72-77_2007. No 13. P. 72-77

УДК519.6; 539.3

ЗАСТОСУВАННЯ ІЄРАРХІЧНОГО БАЗИСУ НА ТРИКУТНИКУ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

Л. Винницька

Львівський національний університет імені Івана Франка вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: kpm@franko.lviv.ua

Досліджено застосовність ієрархічного базису до числового розв'язування двовимірних задач теорії пружності методом скінченних елементів на прикладі задачі Кірша. Числове розв'язування виконано в разі декомпозиції області на трикутні елементи. Зроблено порівняння результатів числових експериментів та аналітичного розв' язку.

Ключові слова: метод скінченних елементів, ієрархічний базис на трикутнику, задача Кірша

1. ВСТУП

Одним із чинників, що визначає якість наближеного розв'язку, отриманого методом скінченних елементів, є вибір апроксимаційних функцій. Тому природною є наявність великої кількості базисів, що намагаються поєднати зручність у використанні та ефективність [1, 2].

Зазначеним вимогам відповідають ієрархічні базиси на трикутних скінченних елементах [3, 4], що мають, на нашу думку, такі переваги: базис порядку р+1 охоплює всі апроксимаційні функції від 1-го до р-го порядку; для побудови базисних функцій довільних порядків використовують лише координати вершин трикутника.

Ми такі арпоксимації використали до розв'язування задач теорії пружності. Зазначимо, що в [5] доведено ефективність застосування ієрархічного базису до числового розв'язування задачі адвекції - дифузії.

2. ДВОВИМІРНИЙ ІЄРАРХІЧНИЙ БАЗИС НА ТРИКУТНИКУ

Двовимірний ієрархічний базис порядку р будують з використанням поліномів Лежандра на стандартному скінченному елементі - рівносторонньому трикутнику зі стороною довжини 2 (рис. 1). Він складається з таких груп функцій: вузлові, реброві та внутрішні. Для їхньої побудови використовують барицентричні координати

L1,L2,L3, де

L = ±

ґ        пЛ

ґ       п л

L3 =4=. (1)

V3J' 2 2{ * V3Г V3

Усього визначено три вузлові функції, які набувають одиничного значення у відповідній вершині трикутника і перетворюються в нуль на стороні, протилежній до цієї вершини:

N  п) = L, i = 1,2,3. (2)

На кожній стороні трикутника визначено p - 1 ребрових функцій так, що вони набувають нульового значення на двох інших сторонах:

© Винницька Л., 2007

{£т}) = LjLM (LjЛ),j = 12,3, і = 1,2,..., p-1, к = 1+ jmod3;

9, (Lj,Lk]

і +1) P(Lj Lk

(3)

(p-2)(p-1)/2 внутрішних функцій перетворюються в нуль на всіх сторонах трикутника:

Щ+r&тт) = L1L2L,¥m (Li,L2,L3);

к = 3,4,...,p, ik - 3)(k - 2) r = 1,2,..., к - 2, r1 + r2 = к - 3.

(4)

Різниця між базисами, запропонованими в [3], [4], полягає у побудові функцій ¥Vl (L1, L2, L2). Наприклад, згідно з [3], вони мають вигляд

VVl (L, L2, L3) = р (L2 - Ц) Ph (2L3 -1) .(5)

Однак, число зумовленості матриці жорсткості за такого вибору базисних функцій може зростати експоненційно зі зростанням порядку апроксимації р. У разі ортогоналізації внутрішніх функцій (5) число зумовленості зростатиме з квадратичною швидкістю, а для у/   (L1, L2, L2) отримаємо такий вираз [4]:

YVl (L1, ^ L3 )=(L2 - L

Отже, розмірність базису (p +1) (p + 2) /2 .

(2L3 -1)

(6)

Рис. 1. Стандартний елемент

Зазначимо, що реброві функції входять до базису починаючи з другого порядку апроксимації, а внутрішні - з третього.

Надалі результати числових експериментів будуть наведені в разі застосування внутрішніх функцій, обчислених за формулою (5).

3. З'ЄДНАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ

У випадку декомпозиції області на трикутники постає проблема збереження неперервності базису в разі з' єднання елементів. На рис. 2 зображено два сусідні елементи, які мають спільне ребро, причому в разі обходу вершин проти годинникової стрілки елемент А містить ребро {2, 4}, а елемент В - {4, 2}.

Із побудови базису відомо, що на сторонах стандартного елемента вузлові та внутрішні функції перетворюються в нуль. Тому фактично треба забезпечитинеперервність ребрових функцій, причому це стосується функцій непарного порядку, починаючи з р = 3.

Нехай потрібно приєднати елемент А до елемента В. Для збереження неперервності функцій потрібно домножити на -1 усі реброві функції непарного порядку (p > 3) сторони {2,4}. Однак виконані дослідження засвідчують, що в разі

поділу області на парну кільність скіченних елементів можна додатково домножити на -1 реброві функції непарного порядку (p > 3) двох інших сторін. Отже, елемент,

що приєднуватиметься до сторони трикутника В, вже не потребуватиме ніяких змін і

т.д.

Рис. 2. З'єднання сусідніх елементів

4. ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ КІРША

Як приклад застосування ієрархічного базису розглянемо числовий аналіз задачі Кірша. В задачі Кірша досліджують нескінченну пластину з отвором, на яку діє зусилля р1 на нескінченності (рис. 3, ліворуч). Задачу описують такі співвідношення:

(и)

дх1 дх2 д<$ + да22)

:0;

вQcЯ2 ;

(7)

дх2

0;

0.

(8)

дх1

°П   їх, =±-       Рі^12 їх, =+*>

Тут U =(u1 (хl, х2 ), U2 (хl, х2 )).

Однак з огляду на нескінченність області виконати числове розв'язування задачі (7), (8) методом скінченних елементів складно. Тому перейдемо до скінченної області Q* c Q ; Г = Г1 иГ2 иГ3 иГ4 иГ5 - неперервна за Ліпшицем границя Q*

(рис. 3, праворуч). На Г1 та Г2 накладемо умови, що відповідають розподілу напружень аналітичного розв'язку задачі (7), (8) [3]

1 - —гI -cos26> + cos46>) + — a-cos4e

r2 ^ 2 J   2 r4

2 (3                  ^   3 4 ~ —-\— cos26>-cos4^ I----cos4^

r2 ^ 2 J   2 r4

2 ( 3 ^   3 4

■—\ sin2e + sin4^ I + -sin4e

r { 2 J   2 r

(

r = ^х12 + х22, в = arcsin -

х

ух1   + х2 j

а на Г3 та Г5 - умови симетрії, Г4 - вільна. Тоді

= а сг(и)\  сг{и)\   сг{и)\

U1   = 0; а)|Г3 = 0; о*?^ = 0;     ^ = 0; U2   = 0; а\ ) (9)

де v - вектор зовнішньої нормалі до Г ; т - вектор дотичної до Г. У варіаційній формі задачу сформулюємо так:

знайти и є V = {г? = (г?, г?2) є H(1) (Q*): ? = 0 на Г3,г?2 = 0 на Г5} таку,що A,г?) = f (г?) У V; A , г?) = jj [О ^ + о^є^ + 0 ^ ] dxxdx2; (11)

f (г?) = j       +       )d Г1 + j (onA + 022^ )dr2

(10)

(12)

Рис. 3. Задача Кірша

5. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЛОВИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ

Для підтвердження можливості застосування ієрархічних базисів до розв' язування задач теорії пружності наведемо результати числового розв' язування задачі (10)-(12) за заданого навантаження р1 = 1 та порівняємо їх з аналітичними розв' язками.

Числові експерименти виконано з використанням скінченно - елементних сіток, зображених на рис. 4.

У табл. 1, 2 наведено максимальні відносні похибки и1 та и2, відповідно, що обчислені за формулами

§1 3

max U1 (х1,х2;

100%; 82 (х1, х2;

ггшх u2 (х1, х2;

100%,

тут и1(')(х1,х2), и2)(х1,х2) знайдено методом скінченних елементів, а и1 (х1,х2), и2 (х1,х2) - точні значення [3]. Результати наведено для порядків апроксимації p = 1,2,...,6.

Рис. 4. Сітки скінченних елементів

Таблиця 1

Максимальна відносна похибка и1

р

max 8, , %

C 1

max 81 , %

M 1

max 81 , %

F 1

1

11,24

5,21

3,39

2

1,95

0,44

0,25

3

1,23

0,31

0,20

4

1,22

0,31

0,20

5

1,24

0,32

0,21

6

1,25

0,32

0,21

 

Максимальна відносна похибка и2

р

max 82, %

C 2

max 82, %

M 2

max 82, %

F 2

1

20,48

10,45

10,45

2

4,64

0,95

0,50

3

2,19

0,55

0,35

4

2,04

0,53

0,33

5

1,87

0,51

0,32

6

1,73

0,50

0,32

Таблиця 2

6. ВИСНОВКИ

Отже, наведені результати дають змогу зробити висновок про ефективність застосування ієрархічного базису до розв' язування задач теорії пружності. У цьому разі є h- та p- збіжність. Під час числового розв'язування задач, на нашу думку, слід

ЗАСТОСУВАННЯ ІЄРАРХІЧНОГО БАЗИСУ НА ТРИКУТНИКУ.

використовувати "добру" сітку скінченних елементів та порядок апроксимації р =

3,4.

ЛІТЕРАТУРА

26. Норри Д., де ФризДж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

28. Szabo B., Babuska I. Finite element analysis. New York: John Wiley & Sons, 1991.

29. Adjer'd S., A'ffa M., Flaherty J.E. Hierarchical finite element bases for triangular and tetrahedral elements // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2001. № 190. P. 2925­2941.

30. Мандзак Т., Савула Н. Про використання ієрархічних базисів у методі скінченних елементів // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. 2003.

Вип. 6. С. 80-85.

APPLICATION OF HIERARCHICAL BASIS FOR TRIANGULAR IN SOLVING ELASTICITY THEORY PROBLEMS

L. Vynnytska

Ivan Franko National Un'vers'ty of Lv'v Un'versytetska str, 1, Lv'v, 79000, e-ma'l: kpm@franko.lv'v.ua

Applicability of hierarchical basis for finite element solving of two dimensional elasticity theory problem is investigated. As an example Kirsch problem is chosen. Domain is divided into triangular elements. Comparison between numerical solution results and exact solution is given.

Key words: finite element method, hierarchical basis for triangular, Kirsch problem

Стаття надійшла до редколегії 21.11.2006 Прийнята до друку 12.09.2007

Страницы:
1 


Похожие статьи

Л Винницька - Застосування ієрархічного базису на трикутнику до розв'язування задач теорії пружності