Л Й Бойко, В І Павліщев - Застосування методів диференціального та інтегрального числення до розв язання задач технічного змісту - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНІЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО РОЗВ ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ТЕХНІЧНОГО ЗМІСТУ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДЛЯ САМОСТІЙНОІ РОБОТИ СТУДЕНТІВ напрямів підготовки 6.050301 Гірництво, 6.050101 Комп'ютерні науки, 6.040103 Геологія, 6.050502 Інженерна механіка

Дніпропетровськ

НГУ 2012

Застосування методів диференціального та інтегрального числення до розв'язання задач технічного змісту. Методичні вказівки для самостійної роботи студентів напрямів підготовки 6.050301 Гірництво, 6.050101 Комп'ютерні науки, 6.040103 Геологія, 6.050502 Інженерна механіка / Л.Й. Бойко, В.І. Павліщев. - Д.: Національний гірничий університет, 2012 -

46 с.

Автори: Л.Й. Бойко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

В. І. Павліщев, канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано методичною комісією з напряму підготовки (протокол № 4 від 26.09.2012) за поданням кафедри вищої математики (протокол № 14-12 від 06.09.2012).

Мета методичних вказівок - конкретизувати приклади, які розв'язуватимуть студенти при вивченні розділу "Диференціальне та інтегральне числення функції однієї змінної", а також надати допомогу їм у засвоєнні методів математичного дослідження прикладних задач, що дуже важливо для майбутніх інженерів.

Наведено 80 задач технічного змісту. Всі вони забезпечені відповідями та вказівками до їх розв' язання. Необхідні відомості з теорії подано у довідковій формі.

Можуть бути використані студентами для самостійної роботи, а також викладачами для проведення практичних й індивідуальних занять та занять студентського математичного гуртка.

Відповідальна   за   випуск   завідувачка   кафедри   вищої математики О.О. Сдвижкова, д-р техн. наук, проф.

1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

1.1. Довідковий матеріал з диференціального числення

Нехай функція y = f (x) визначена у проміжку [a,b]. Різниця Ax = x - x0 називається приростом аргументу x у точці x0 є (a,b). Різниця Ay = Af (x0) = f (x0 +Ax) - f (x0)   називається   приростом   функції   в точці

M (x yo) ( рис.1).

Рис. 1

Похідною функції y = f (x) у точці xo називається границя відношення приросту функції Ay до приросту аргументу Ax, коли останній довільно прямує до нуля:

ч        Ay        f {x0 +Ax)- f (x0) f'(x0)= lim= li^^0-LJAll . (i)

AxAx    Ax^0 Ax

Функція, яка має похідну в кожній точці інтервалу (a, b), називається диференційованою у цьому інтервалі.

Похідна в довільній точці функція має такі позначення:

dy df (x)

y, y'x, f X x),

dx dx

З геометричної точки зору похідна f'(x0) являє собою кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = f (x) в точці xo, тобто f' (x0) = tga. Тому рівняння дотичної до кривої y = f (x) у точці M(Xo,Уо) можна записати так:

y - yo = f' (Xo)(x - Xo) (2) Похідна f'(x0) характеризує швидкість зміни функції y = f (x) в точці

Xo у напрямі осі 0X. Якщо відомий закон руху S = S (t), то швидкість руху у момент t0 є похідна від шляху за часом: 3 = s'(t0).

Складену функцію y = f (u), де u = u (x), диференціюють за правилом У'х = f'u'u'x , при цьому вважається, що функції f(u) і u(x) мають похідні.

Диференціал функції y = f (x) являє собою головну частину приросту функції Ay , лінійну відносно приросту аргументу Ax, і обчислюється за формулою dy = y' dx. Диференціал аргументу дорівнює його приросту: dx = Ax З геометричної точки зору диференціал функції - це приріст ординати дотичної до графіка функції y = f (x) в точці M(x0,y0) (рис.1).

Якщо Ax малий за абсолютною величиною, то Ay « dy і

f (x0 +Ax) « f (x0) + f'(x0)Ax. (3) Формула (3) широко застосовується для наближених обчислень. Якщо незалежна змінна x визначена з граничною абсолютною похибкою Ax , то Ay і dy - граничні похибки функції y = f (x) відповідно абсолютна і відносна -наближено виражатимуться такими формулами:

у '

- Ax. (4) У

Похідною другого порядку функції y= f(x) називається похідна від похідної першого порядку. Для позначення другої похідної використовують

A = \y'ІA ,  d =

tt    tt 2 2

символи y", f"(x0), d y / . За допомогою другої похідної визначається кривина К лінії  y = f (x) в точці xo і радіус кривини R:

K

1 + і

3/2'R = J (5)

(y'( xo))2 ~

З механічної точки зору друга похідна від шляху за часом є прискорення руху:   a = s" (t) = 3\t)

Для параметрично заданої функції x = <p(t), y = y/(t) похідні першого і

другого порядків обчислюють за формулами:

y'x=4 > уі=щ- (6)

При дослідженні властивостей функції за допомогою похідної рекомендують використовувати такі правила.

Якщо функція у = f (x) в усіх точках проміжку (a, b) має додатну похідну

f '(x) то функція зростає на цьому проміжку , а якщо має від'ємну похідну, то функція спадає на цьому проміжку.

Точка x0 є точка максимуму функції f (x), якщо f' (x 0) = o або f'(xo) не існує і є такий 8- окіл точки x0 , що f'(x) > 0 для xe(xo —8,xo) і f'(x) < 0 для x є (x0,x0 + 8) (або f''(x0) < 0). Якщо ж f '(x) < 0 для x є (x0 —8,x0) і f'(x) > 0 для   x є (x0,x0 +8) (або f''(x0) > 0), то x0 -

точка мінімуму. Точки екстремуму відділяють інтервали зростання та спадання (інтервали монотонності) функції.

Якщо в усіх точках інтервалу (a, b) f (x0 )> 0, то графік функції

y= f(x) на цьому інтервалі угнутий (опуклий вниз), якщо ж f (x0 )< 0, то на цьому інтервалі графік функції опуклий (опуклий вгору). Точка з абсцисою x0 є точка перегину графіка функції y = f (x), якщо f'' (xo ) = 0 або f''(xo ) не існує, і при переході через цю точку друга похідна f (x) змінює знак. Точки перегину відділяють інтервали опуклості і угнутості графіка функції.

Найбільше і найменше значення функції f(х) на відрізку [ а, b ] знаходять серед чисел f (а),f (х}),...,f (xk),f (b) де xbх2,...,xk - критичні точки функції f (x) на інтервалі (а, b) тобто точки, в яких f'(х) дорівнює нулю або не існує.

У задачах прикладного змісту на відшукання найбільшого і найменшого значень змінної величини треба правильно вибрати аргумент, встановити границі його зміни, скласти функцію, залежну від цього аргументу, і дослідити її на екстремум.

1.2. Похідна та диференціал функції

Задача 1. Під струмом розуміють кількість електрики, що протікає у колі за одиницю часу. Дати визначення струму в момент часу t (миттєвий струм), якщо кількість електрики, що протікає у колі за проміжок At, дорівнює q(t).

Відповідь: I = —.

dt

Вказівка. Кількість електрики, що протікає у колі за проміжок часу від t до    t + At,  Aq = q(t + At) - q(t). Середній струм за цей час Icep =Aq / At.

Миттєвий струм у момент часу t є границя середнього струму, коли At —» 0

тобто і = ііш icep = q '(t).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8 


Похожие статьи

Л Й Бойко, В І Павліщев - Застосування методів диференціального та інтегрального числення до розв язання задач технічного змісту