І Габрусєва, Б Шелестовський - Взаємодія кільцевого штампа із попередньо напруженим шаром у випадку потенціалу бартєньєва-хазановіча - страница 2

Страницы:
1  2  3  4 

A1sh (ah) + A2 \s1 sh (ah) + ahch (ah)] = B2 [(s1 - s0) ch (ah) + ah sh (ah)].

Розв'язавши (21), отримаємо вирази для A1 та A2 через функцію B2

ah + s0 sh (ah) ch (ah) sh (ah) ch (ah )

A1 — ^г-/    \ B2,   A2г-/    \      B2. (22)

sh (ah) sh (ah)

Із урахуванням співвідношень (20) та (22) вирази (15) та (17) набувають вигляду

ю 3 (s - s0) sh (ah) ch (ah) -ah , ч

azz =    ja3±-°>   У   (     V   }--B2J0 (ar)da, (23)

0 sh (ah)

ю

uz = m1 (s1 - s0 )ja2B2 J0 (ar) da . (24)

0

Задовольнивши граничну умову (3), на основі (23) отримаємо

ю 3 (s - s0) sh (ah) ch (ah) -ah , ч

c33 \a3±-01—Ц-£—Є---B2 J0 (ar) da = 0, 0 < r < a, b < r (25)

33 j sh2 (ah) 2 °V '

Введемо невідому функцію x (r), a < r < b , за допомогою якої продовжимо співвідношення (25) на проміжок 0 < r < ю

a(s-s0)sh(ahyd,(ah)-ah b j a)da =

0 sh (ah)

0

ю

0

= х (r) {U - a)-U - Ъ)}, 0 < г < о, (26)

де U (г) - функція Гевісайда.

Функція х (г) визначає розподіл контактних напружень під штампом. Врахувавши її неперервність, а також те, що вона дорівнює нулю на границі області контакту (при г = a та г = Ъ ), представимо х (г) у вигляді відрізка узагальненого ряду Фур'є за

функціями Ln (г) = J0 {^-гjY0 (jn) - Y0 j J0 (jn), де Y„ - додатні корені рівняння J0 {— х j Y0 (х) - Y0 {хj J0 (х) = 0 . Тобто у вигляді

N

х (г ) = azz (г,0) = у anLn (г) , (27)

n=1

де an - невідомі коефіцієнти.

Застосувавши формулу обернення інтегрального перетворення Ганкеля до співвідношення (26) та врахувавши представлення (27), отримаємо вираз

2    (s - s0) sh (ah) ch (ah) -ah     1 Ъг . .      . .

a2 -0)   K   (     K    >-= J г ^ anLn ) • J{) (аг ) йг =

sh (ah) C33 a n=l

a

о Ъ

1

1 -S an - J г  Ln ) J0 a) йг . (28)

C33 n=l

a

Фn (a) = j г ^ Ln (г ) J0 ) йг

Ввівши позначення

Ъ

Ja

a

Y -(aa)2 1a

x J0 (aЪ)

зі співвідношень (28) отримаємо

2 sh2 (ah) l , ч

a B2 ^---—-і'—----У an Ф n (a). (29)

(s - s0) sh (ah) ch (ah ) - ah c33  n=1

Підставивши співвідношення (29) у рівність (24), отримаємо

оо

и, (г ) = m1 (s1 - s0 )Ja2B2 J0     ) da =

0

'1 (si - s0)   . Г_sh2 (ah )__anф (a). Jq (ar) da,

(l + m1) /1n1 0 (s - s0) sh (ah) ch (ah}-ah n=1 n  n 0

=   ml ( sl - s0 )    о sh2 (ah)

c

або

о

и, (г) =     У an J A (a)  Ф (a)  J0 (a) da. (30)

n=1 0

В останньому співвідношенні введено позначення

c44 (l + ml) /lnl

(a) = (s - s0) sh (ah) ch (ah)-ah ~ (s - s0 )[l - є'40"1 ]- 4ahe-2ah

чгуч

ah   . -4ah

Вимагаючи виконання граничної умови (4) та підставивши у співвідношення (7) вирази для w (a) і w (Ъ), отримані із (30), матимемо

- W

У an JA(a^ n (a){J0 (0г )- J0 (aa)} da = Wl* (г) ,

ln

n=l 0

оо о

- Wl У an JA(a^ n (a){J0 ( )- J0 (оъ)} da = W2 (г)

n=l 0

У співвідношеннях (31) та (32) використані такі позначення:

W

і* (г )

2R

2R

W2 (г )

=

2R 1

1  ь - Ъ)2

2R2

- ) - - г)

a < г < га,

, гЪ < г < Ъ.

(31)

(32)

1 2

Помноживши співвідношення (31) та (32) на г Lq (г) та проінтегрувавши отримані вирази по г від a до Ъ, матимемо

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

І Габрусєва, Б Шелестовський - Взаємодія кільцевого штампа із попередньо напруженим шаром у випадку потенціалу бартєньєва-хазановіча